Il y a deux façons, en arithmétique, de rendre compte d'une quantité qui ne tombe pas juste. La première consiste à l'arrondir : on choisit un pas — le centième, le millième — et l'on rapproche le nombre du plus proche multiple de ce pas. La seconde consiste à l'écrire en fraction : on pose le rapport exact entre ce qui est partagé et ce qui partage, et l'on s'en tient là. Les deux manières portent sur la même quantité. Elles n'en disent pas la même chose.

Le présent article se propose de poser cette différence, puis d'en observer les conséquences. Il ne défend pas une invention. Il rappelle une distinction ancienne, que les mathématiciens qui nous ont précédés — Al-Khwarizmi en tête — tenaient pour évidente, et que l'habitude de la calculette de poche a fini par effacer. Il s'interroge enfin sur les raisons institutionnelles de cet effacement, et sur les questions qu'il laisse ouvertes.

Titre I — L'arrondi et la fraction : deux définitions

A. L'arrondi

L'arrondi est un acte. On part d'un nombre, et on le remplace par un autre, choisi dans une grille fixée à l'avance. La grille usuelle, en matière monétaire, est celle du centième d'euro : chaque somme y est ramenée au centime le plus proche. Lorsque la somme tombe exactement entre deux centimes, une règle de départage tranche ; le règlement européen de 1997 a retenu l'arrondi supérieur dans ce cas d'équidistance.

L'acte d'arrondir modifie le nombre. Il ne le décrit pas, il le remplace. La quantité d'origine — celle qu'on a calculée avant d'arrondir — disparaît derrière la quantité arrondie, qui devient désormais la seule à exister comptablement. L'écart entre les deux n'est inscrit nulle part. Il n'a pas de nom.

L'arrondi est donc, par définition, une opération qui efface. Ce qu'elle efface est réputé négligeable — c'est même la raison pour laquelle on a institué la grille. Mais négligeable ne signifie pas inexistant. L'écart existe, simplement il n'apparaît plus.

B. La fraction

La fraction est d'une autre nature. Elle n'est pas un acte qu'on pose sur un nombre : elle est une manière d'écrire ce nombre. Vingt divisé par trois s'écrit 20/3. Ce n'est pas une étape intermédiaire vers une écriture décimale plus commode ; c'est l'écriture exacte de la quantité, qui ne demande rien d'autre pour être complète.

Écrite ainsi, la quantité ne subit ni coupure, ni rapprochement, ni choix de grille. Elle se donne telle qu'elle est : un rapport entre deux entiers. La représentation fractionnaire n'intervient ni avant le calcul, ni après : elle est le calcul lui-même, fixé dans sa forme achevée.

Cette distinction n'est pas de pure forme. Une fraction peut entrer dans une addition, une soustraction, une comparaison, sans perdre son exactitude à aucune étape. Un nombre décimal, lui, perd son exactitude dès qu'on l'arrondit, et cette perte se propage dans tous les calculs ultérieurs — c'est ce qu'un auteur a appelé l'exponentialité des erreurs, phénomène bien connu des praticiens du calcul en virgule flottante.

C. Ce que la symétrie révèle

L'arrondi opère sur un nombre. La fraction est un nombre. L'un agit, l'autre est. Formuler la différence de cette manière n'est pas un jeu de mots : c'est souligner qu'on a affaire à deux opérations de pensée distinctes, que l'usage courant a fini par confondre.

L'arrondi suppose qu'on sache ce qu'on abandonne. La fraction suppose qu'on se contente de ce qu'on a. La première exige une grille, une règle de départage, une convention externe. La seconde ne demande rien qu'elle-même. Si l'on devait résumer : l'arrondi est une opération administrative, la fraction est une donnée.

L'exemple canonique — celui que la calculatrice publiée sur Digital Synapse Exchange permet à chacun de vérifier — est celui de vingt divisé par trois. En représentation fractionnaire : 6⅔. Sans reste, sans approximation, sans ambiguïté. En représentation décimale arrondie : 6,67, et, à la multiplication inverse par trois, on retrouve 20,01 — non plus 20. Le nombre s'est déplacé. La fraction, elle, ne s'est pas déplacée, parce qu'elle n'avait pas bougé.

Titre II — Ce que les institutions font de l'arrondi

A. Le cadre réglementaire

Le règlement (CE) n° 1103/97 du Conseil du 17 juin 1997, pris à l'occasion de l'introduction de l'euro, a fixé à son article 5 la règle opérationnelle de l'arrondi monétaire : les sommes à payer ou à comptabiliser sont arrondies au centime supérieur ou inférieur le plus proche ; en cas d'équidistance, au chiffre supérieur. La règle est neutre en apparence : elle s'applique uniformément, sans considération de la qualité des parties.

À ce premier cadre se superpose un second, issu du Plan comptable général et du principe de prudence qui le commande. La prudence comptable exige de ne pas surestimer l'actif et de ne pas sous-estimer le passif. Déclinée à l'arrondi, elle se formule simplement : une dette s'arrondit à l'unité supérieure, une créance à l'unité inférieure. Ce principe n'a pas été écrit pour l'ère du paiement électronique ; il date d'une époque où les écritures comptables étaient rares, vérifiées une à une, et portaient sur des sommes substantielles.

B. La superposition des deux règles

Prise isolément, la règle de 1997 ne favorise personne. Prise isolément, la prudence comptable ne favorise personne non plus — elle s'impose également à toute entreprise qui tient ses livres. C'est leur composition qui produit l'effet observable. Lorsqu'une transaction place le consommateur en position de débiteur — ce qui est le cas dans l'écrasante majorité de ses opérations : loyer, énergie, télécommunications, assurances, achats courants — sa dette est arrondie au supérieur. Lorsqu'elle le place en position de créancier — situation statistiquement rare — sa créance est arrondie à l'inférieur. L'écart, dans les deux cas, reste du côté de l'établissement qui tient les comptes et qui effectue la compensation.

Cet écart n'est visible dans aucun relevé. Il n'est facturé nulle part. Il ne porte pas de nom. Il est la différence entre deux écritures qui prétendent représenter la même opération, et que la règle d'arrondi a rendues différentes. Dans la représentation fractionnaire, cette différence n'existerait pas, parce que la somme due et la somme reçue seraient le même nombre. Dans la représentation décimale arrondie, elle existe nécessairement, parce que les deux écritures sont produites par deux applications distinctes de la règle.

C. Les effets observables

Il n'est pas nécessaire de postuler une intention pour décrire l'effet. Chaque acteur, pris isolément, applique une règle légitime. L'établissement bancaire applique le règlement européen. L'entreprise applique le principe de prudence. Le consommateur signe un contrat d'adhésion qui renvoie à l'un et à l'autre sans les nommer. Aucun ne fait autre chose que ce que la norme lui prescrit.

Et pourtant, à chaque transaction où la règle de départage joue, un centime se déplace dans un sens déterminé : du payeur vers le receveur, du débiteur vers le créancier. Multiplié par le nombre de transactions qu'une vie économique ordinaire comporte aujourd'hui — plusieurs dizaines par jour depuis la généralisation du paiement sans contact — le centime cesse d'être anodin à l'échelle agrégée. Il le reste à l'échelle individuelle, ce qui le rend indiscutable : aucun consommateur pris isolément n'a de raison de contester un centime, aucun tribunal n'acceptera d'en juger, aucune association de consommateurs n'en fera une cause. L'insignifiance unitaire est la condition de la pérennité agrégée.

Ce n'est pas une conjecture : c'est la description, en langage ordinaire, de ce que produit la composition des deux règles citées. Les systèmes d'information bancaires tiennent, au centime près, la ligne exacte de chaque écriture. Ce qui échappe au consommateur est parfaitement lisible à l'institution. L'asymétrie d'information s'ajoute à l'asymétrie comptable.

Titre III — Les questions laissées en suspens

La description précédente, une fois posée, ouvre plusieurs questions auxquelles le droit positif ne répond pas — non parce qu'il les aurait tranchées dans un sens ou dans un autre, mais parce qu'il ne les a jamais formulées en ces termes.

A. La commutativité : une exigence sans vérification systématique (article 1104 du Code civil)

L'article 1104 du Code civil énonce que les contrats doivent être négociés, formés et exécutés de bonne foi, et que cette disposition est d'ordre public. L'article 1108 définit le contrat commutatif comme celui par lequel chacune des parties s'engage à procurer à l'autre un avantage regardé comme l'équivalent de celui qu'elle reçoit.

Le droit français n'ignore pas la rupture de l'équivalence. Il l'a même outillée. La lésion permet la rescision dans la vente immobilière au-delà d'un seuil défini par l'article 1674 du Code civil. La réfaction du prix, introduite à l'article 1223 par l'ordonnance du 10 février 2016, autorise le créancier à obtenir une réduction proportionnelle en cas d'exécution imparfaite. La révision pour imprévision, issue de l'article 1195, permet d'adapter le contrat lorsqu'un changement imprévisible en rend l'exécution excessivement onéreuse. Les clauses abusives, au sens de l'article L. 212-1 du Code de la consommation, sanctionnent le déséquilibre significatif. La bonne foi de l'article 1104 elle-même offre un fondement général pour contester l'exécution déloyale.

Tous ces instruments partagent une caractéristique commune : ils sont curatifs et déclenchés par l'action d'une partie. Il faut qu'un cocontractant saisisse le juge, conteste, invoque, agisse. Aucun n'organise la vérification arithmétique d'office, au moment de l'exécution, du fait que le montant versé par le débiteur correspond exactement à celui reçu par le créancier. La présomption d'équivalence tient parce qu'elle n'est jamais éprouvée systématiquement — elle ne l'est qu'à la demande. Lorsqu'on dispose d'un outil permettant de l'éprouver en continu — la représentation fractionnaire — on constate que l'équivalence est rompue à chaque transaction soumise à arrondi, et cela sans que personne n'ait aucune raison pratique d'agir : l'écart unitaire est trop faible. La question que le droit laisse en suspens est donc la suivante : la commutativité, quand elle devient mesurable à chaque opération, doit-elle rester vérifiable seulement sur contestation, ou peut-elle devenir observable de manière continue ?

B. La compensation arithmétiquement impossible (article 1347 du Code civil)

L'article 1347 du Code civil définit la compensation comme l'extinction simultanée d'obligations réciproques entre deux personnes. Elle suppose que les deux dettes soient, entre autres, certaines et de même nature. Le texte ne précise pas ce qu'il advient lorsque les deux dettes, censées être identiques, sont en réalité distinctes d'un centime en raison de l'application asymétrique de la règle d'arrondi.

Dans la représentation fractionnaire, les deux montants coïncident : la compensation opère. Dans la représentation décimale arrondie, ils ne coïncident pas : la compensation ne peut opérer que par fiction, c'est-à-dire en traitant comme identiques des montants qui ne le sont pas. Cette fiction est universellement pratiquée et nulle part nommée. Elle constitue la seconde question en suspens : la compensation peut-elle rester efficace juridiquement quand elle est devenue, par l'effet des règles de représentation, arithmétiquement impossible ?

C. Ce que la fraction permet que l'arrondi empêche

Les deux questions précédentes sont liées par un fil qu'il faut nommer. Dans la représentation fractionnaire, la commutativité et la compensation sont arithmétiquement solidaires : ce que le débiteur doit est exactement ce que le créancier reçoit, et, au moment du paiement, la dette et la créance se rencontrent sans reste. L'obligation s'éteint au sens plein de l'article 1347 — non par fiction, mais par constat. Illico presto, dirait-on dans le langage du quotidien.

L'arrondi, lui, désarticule ces deux notions en une seule fois. Il rompt l'équivalence au moment même où il prétend la réaliser, et il laisse derrière lui un résidu qui empêche la compensation parfaite — résidu dont le droit ne dit rien, parce qu'il n'a jamais eu à penser une arithmétique qui ne le produisait pas.

Ces observations ne sont pas résolues par le présent article. Elles ne relèvent pas du rôle d'un article : elles relèvent d'un examen doctrinal, jurisprudentiel et, à terme, peut-être législatif. L'article se borne à les poser.

Titre IV — Ouverture : un débat qui appartient à tous

L'arrondi, contrairement à beaucoup de règles techniques, concerne tout le monde. Il ne s'applique pas à une profession, à un secteur, à une catégorie de contrats : il s'applique à chaque paiement. Celui qui achète du pain, celui qui règle son loyer, celui qui reçoit son salaire, celui qui paie un impôt — chacun est, plusieurs dizaines de fois par jour, soumis à la règle. Le débat sur l'arrondi n'est donc pas un débat de spécialistes. C'est un débat dont chacun a, littéralement, la preuve quotidienne sur son relevé bancaire.

Le présent article ne prétend pas clore ce débat. Il ne prétend même pas le lancer seul : d'autres auteurs, d'autres traditions, d'autres disciplines ont sans doute abordé la même question par des voies différentes. L'arithmétique fractionnaire, dont Al-Khwarizmi est au IXᵉ siècle le témoin le plus connu, n'est qu'une voie parmi d'autres pour redonner à la quantité sa représentation exacte. Il en est peut-être d'autres, que nous ne connaissons pas encore, et qui arriveront à des conclusions voisines par des chemins qu'on n'a pas empruntés ici.

C'est précisément pour cela que la question mérite d'être rouverte. Si la représentation fractionnaire permet d'éprouver ce que l'arrondi dissimule, elle n'est ni la seule ni la dernière manière de le faire. Le débat qu'elle ouvre est de savoir si les institutions qui reposent sur l'arrondi ont intérêt à examiner leurs propres règles de représentation, ou si elles préfèrent que la question reste implicite. Ce choix, elles le font silencieusement chaque jour, en ne le formulant pas.

Il appartient à chacun — citoyen, consommateur, employé, praticien du droit, comptable, enseignant, chercheur — d'apprécier si cette asymétrie mérite d'être examinée, ou si elle peut continuer à opérer dans l'ombre du principe de prudence. L'auteur de ces lignes s'est contenté de distinguer deux manières de dire un nombre, et d'en observer une conséquence. Ce qu'on fera, ou non, de cette observation ne lui appartient plus.

Poser correctement une question, c'est déjà disposer d'une part de la réponse. Cette conviction, héritée d'une longue pratique du raisonnement juridique, a seule guidé l'écriture de l'article. Le reste — les suites à donner, les textes à rédiger, les régimes à construire — relève d'une délibération collective qui n'appartient à personne en particulier, et donc à tout le monde.

Auteur

Miguel Vidal Bravo-Jandia

Ingénieur — Master II Droit, UFR Montpellier I / Maîtrise es droit, Université Paris II Panthéon-Assas

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Pour vérifier par soi-même. La calculatrice publiée sur Digital Synapse Exchange (digital-synapse-exchange.com/calculatrice) permet à tout lecteur de reproduire l'exemple canonique — vingt divisé par trois — et d'observer côte à côte la représentation fractionnaire exacte et la représentation décimale arrondie. L'article introductif au système, publié sur la même plateforme (publicInternetArticle/174), en expose le principe dans le langage du quotidien.

Références normatives. Règlement (CE) n° 1103/97 du Conseil du 17 juin 1997, article 5. Code civil, articles 1104, 1108, 1195, 1223, 1347 et 1674. Code de la consommation, article L. 212-1. Plan comptable général, principe de prudence.